...e al pendulului 0.3 m I Inertia pendulului0.006 kgm2 F Forta aplicata caruciorului x Coordinata pozitiei caruciorului theta EMBED Equation.3 Unghiul facut de pendul cu verticalaFolosind reglarea cu PID, alocarea de poli sau raspunsul in frecventa se poate controla numai pozitia pendulului. sistem siso. Se presupune ca sistemul porneste in stare de echilibru, primeste un impuls de 1 N. Pendulul ar trebui sa se revina la pozita verticala in maxim 5 secunde si sa nu oscileze fata de verticala cu mai mult de 0,005 radiani. Criteriile de performanta ale sistemuluiRevenire in pozitia verticala in mai putin de 5 secunde.Unghiul pendulului cu verticala sa nu fie mai mare de 0.05 radiani. Reprezentarea sistemului in timp continuu este recomandata acestei probleme sistem cu mai multe iesiri. La aplicarea unui semnal treapta caruciorul ar trebui sa ajunga in pozitia dorita in mai putin de 5 secunde, sa aiba un timp de crestere mai mic de 0,5 secunde si pendululsa aiba o limita de oscilare de 20o 0,35 radiani si sa se stabilizeze tot sub 5 secunde. Criteriile de performanta ale sistemului folosind metoda variabilelor de stare Timpul de stabilizare pentru x si EMBED Equation.3 mai mic de 5 secunde. Timpul de crestere pentru x mai mic de 0.5 secunde. Oscilarea maxima a pendului mai mica de 20o 0,35 radiani. HYPERLINK tl cuprinsinapoiEcuatiile sistemuluiInsumand fortele ce actioneaza asupra caruciorului se obtine ecuatia de miscare EMBED Equation.3 Insumand fortele ce actioneaza asupra pendulului se poate obtine o ecuatie pentru N INCLUDEPICTURE td tz CTM Example Inverted Pendulum Modelingsfilesinveq2.gif EMBED Equation.3 Prin inlocuirea acestei ecuatii in prima se obtine prima ecuatie de miscare a sistemului 1 EMBED Equation.3 A doua ecuatie de miscare a sistemului se obtine insumand fortele perpendiculare pe pendul EMBED Equation.3 Rezulta EMBED Equation.3 A doua ecuatie de miscare a sistemului 2 EMBED Equation.3 Aceste ecuatii trebuie liniarizate cu EMBED Equation.3 . Presupunand ca EMBED Equation.3 unde EMBED Equation.3 reprezinta un unghi mic fata de verticala, se obtine cos EMBED Equation.3 -1, sin EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 si EMBED Equation.3 . Dupa liniarizare, cele doua ecuatii de miscare devin EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 unde u reprezinta comandaHYPERLINK tl cuprinsinapoiFunctia de transferObtinerea pe cale analitica a functiei de transfer corespunzatoare ecuatiilor sistemului liniarizate ale sistemului se face aplicand transformata Laplace ecuatiilor EMBED Equation.3 Conditiile initiale se presupune ca sunt egale cu 0.Se rezolva ecuatia in Xs, EMBED Equation.3 se inlocuieste in a doua ecuatie EMBED Equation.3 Rezulta EMBED Equation.3 unde, EMBED Equation.3 Functia de transfer are si pol si zero in origine.Functia de transfer poate deveni EMBED Equation.3 HYPERLINK tl cuprinsinapoi Spatiul starilorEcuatiile sistemului liniarizat pot fi reprezentate in spatiul starilor sub urmatoarea forma EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Matricea C este 2 pe 4 deoarece si pozitia caruciorului si pozitia pendulului fac parte din iesirea sistemului. Prima linie corespunde pozitiei caruciorului, iar cea de-a doua pozitiei pendulului.HYPERLINK tl cuprinsinapoiRaspunsul sistemului in bucla deschisa1. Functia de transferFunctia de transfer a sistemului in bucla deschisa este obtinuta in Matlab num 4.5455 0den 1.0000 0.1818 -31.1818 -4.4545Dupa cum se vede si in figura alaturata, sistemul nu este stabil in bucla deschisa.HYPERLINK tl cuprinsinapoi2. Spatiul starilorIn Matlab se obtin matricile A, B, C, si D si raspunsul sistemului la aplicarea unui semnal treapta de 0.2 m caruciorului. Matricile arata astfel A 0 1.0000 0 0 0 -0.1818 2.6727 0 0 0 0 1.0000 0 -0.4545 31.1818 0 B 0 1.8182 0 4.5455 C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 0Linia albastra a doua reprezinta pozitia caruciorului, iar cea verde prima reprezinta unghiul pendulului. HYPERLINK tl cuprinsinapoiConstruirea controller-uluiEcuatiile sistemului EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Sistemul se poate schita ca mai jos R referintay raspunsul sistemului contine si pozitia caruciorului si unghiul pendululuiK controller-ulHYPERLINK tl cuprinsinapoiPolii in bucla deschisaSe doreste construirea unui controller astfel incat la aplicarea unui semnal treapta sistemului, pendulul sa ramana in pozitia verticala, iar caruciorul sa se mute la noua pozitie comandata. Primul pas in construirea unui astfel de controller este determinarea polilor in bucla deschisa ai sistemului. adaugat la programul Matlab din HYPERLINK tl eigFunctia de transfer calculeaza polii sistemului in bucla deschisa p 0 -0.1428 5.5651 -5.6041Se observa ca exista un pol in semiplanul pozitiv. Deci sistemul este instabil in bucla deschisa. HYPERLINK tl cuprinsinapoiLQR Urmatorul pas este presupunerea ca se pot masura toate cele 4 stari si gasirea vectorului K ce determina legea de control. Folosirea lqr permite controlul ambelor iesiri. Cel mai simplu caz este cel in care R 1 si Q C C. Introdus in linia de comanda in Matlab calculeaza matricea Q ans 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Elementul din pozitia 1,1 este folosit pentru masurarea pozitiei caruciorului, iar elementul 3,3 pentru masurarea unghiului pendulului.Se obtin vectorul K si raspunsul sistemului la treapta cu controller LQR K -1.0000 -1.6567 18.6854 3.4594Curba verde cea de sus reprezinta unghiul pendulului in radiani, iar cea albastra reprezinta pozitia caruciorului in metri. Raspunsul nu este satisfacator. Timpul de stabilizare al caruciorului si al pendulului trebuie micsorat. Timpul de crestere al caruciorului trebuie sa scada.Schimband valorile x si y din matricea Q se pot aduce imbunatatiri. Cresterea lui x scade timpii de stabilizare si de crestere si micsoreaza unghiul sub care se misca pendulul.Se obtin K -70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238Raspunsul sistemului are un timp de stabilizare sub 2 secunde.HYPERLINK tl cuprinsinapoiReferintaTrebuie gasit un factor de amplificare care elimina eroarea steady-state la o referinta treaptaNbar poate fi calculat folosind o functia Se inlocuieste linia cu cea din stanga. Matricea C devine Cn, deoarece functia rscale nu functioneaza pentru iesiri multiple. Cu toate acestea, valoarea Nbar cautata este corecta.Nbar -70.7107HYPERLINK tl cuprinsinapoiConstruirea observatoruluiEste nevoie de un estimator pentru acele stari care nu pot fi masurate. Polii controller-ului p -8.4910 7.9283i -8.4910 - 7.9283i -4.7592 0.8309i -4.7592 - 0.8309iSe doreste construirea unui estimator ai carui poli sa fie de 4-10 ori mai rapizi decat...
Download