...pentru orice diviziune a lui ia,bs cu si orice sistem i de puncte intermediare asociat lui , avemf,-i1 2 si f,-i2 2,decii1 i2 i1 f, f,-i2 22 .Cum 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1i2 dar din ipoteza i1i2 contradictie.Deci if este unic.2 fia,bsRf integrabila in sens Riemann pe ia,bs f marginita pe ia,bsDemonstratie f integrabila pe ia,bs if R a.i. o diviziune a lui ia,bs si 0, 0 pentru care f,i if i un sistem de puncte intemediare.Arat ca f este marginita pe ixk-1,xks x, ikFie i xi, ik n nf,i fixi-xi-1 fxixi-xi-1 fxxk-xk-1 i1 i1 ikf,i if f,i if if if f,i if n if fxixi-xi-1 fxxk-xk-1 if i1 ik1xk-xk-1i if fxixi-xi-1s fx 1xk-xk-1i if fxixi-xi-1sis isM1M2M1 fx M2 f marginita pe ixk-1,xks k I1,2,,nSf marginita pe ia,bs3 f,gia,bs RAia,bsA finita, cu proprieteag integrabila pe ia,bsfxgx xia,bstAatuncia f integrabila pe ia,bs b bb gxdx fxdx a aDemonstratieEste suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci AIcS.Functia g fiind integrabila, este marginita, deci M1 0 astfel incatgx M1 xia,bsLuand M max M1, fc fx M si gx M xia,bs.g integrabila 0, 0a.i. b g,i gxdx 2a x0, x1,,xn, cu si sistemul de puncte intermediare i.Luand min , 8M , avem si 4M 2.Daca c este un punct al diviziunii , atunci 0 i n astfel incat c xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele j sau j1. Deci tinand seama de faptul ca fx gx x c, obtinem g,i f,i gi fi xi xi-1 gj fjxj xj-1 gj1 fj1xj1 xj 4M 4M 2Daca c nu este punct al diviziunii , atunci c este continut intr-un interval deschis xk-1,xk. Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul k, prin urmare g,i f,i gi fi xi xi-1 gk fkxk xk-1 2M 2M 2Din analiza facuta pana acum rezulta ca g,i f,i 2Din 1 si 2 obtinem b f,i gxdx ab badica f este integrabila si fxdx gxdx.a aEXEMPLEfia,bs Rfx k a f integrabila si kdx kb-a b if kb-a a.i. 0 0 cu proprietatea ca x0ax1xnb si i ixi-1,xis, f,i if f,i fixixi-1 kxixi-1 k xixi-1 kx1x0x2x1xnxn-1 kxn x0 kb-af,i if kb-a kb-a 0 0.f,gia,bs R 1, pentru xQ -1, pentru xQfx gx -1, pentru xRtQ 1, pentru xRtQf,g nu sunt integrabileDemonstratie pentru fx Fie ax0x1xnb, avem 1xi xi-1 b-a, pentru i Qf, -1xi xi-1 a-b, pentru i RtQCum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor i, functia nu este integrabila.Demonstratia se face analog pentru gx.Desi f,g nu sunt integrabile functiilefgx 0 xia,bsfgx -1 xia,bsfogx 1 xia,bssunt integrabile ca fiind functii constante.Sa se cerceteze integrabilitatea functiei 0, daca x este irational sau x 0Gx 1q, daca x pq, pq fractie ireductibilaRezolvare Functia este integrabila pe segmentul i0,1s. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul i0,1s avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie o diviziune arbi-trara a segmentului i0,1s. Exista cel mult 2k intervale partiale pe care le notam d1,d2,,d2k care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat 0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului 2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1, d2, d2m celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di i 1, 2, , m contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x pq, qN, si astfel ca Gpq 1q1N. Deci 2k mSdG sdG Mi mii Mi mii i1 i1Am notat cu Mi, respectiv mi marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di si cu Mi, respectiv mi marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di, i este lungimea lui di, iar i este lungimea lui di.Deoarece Mi mi1, mi 0, Mi1N, i, avem2k mSdG sdG i 1N i 2 1N.i1 i1Daca N 2, atunci 1N 2 si SdG sdG .Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a 1functiei este 0, avem sdG 0, rezulta I Gxdx 0. Datorita integrabilitatii functiei 0G, avem 1Gxdx 0. 0Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.!-ab,-TUVfaaajS56CJ56CJHjx56CJjD56CJH
js56CJ56CJ56CJjICJjxCJjCJCJHjDCJ5CJCJ56OJQJOJQJ!Iaf
àAXsti7iaa7iaaFaaaaiai!IafàAXstvtTiàSztqv...
Download