...e 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens . Proprietetile adunarii uv u v asociativitate uv vu comutativitate exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v0 0v v element neutru oricare ar fi vectorul v exista v a.i v-v-vv0 element sincretic - v opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus . u v uv2uvcos a 2. Inmultirea unui vector cu un scalarFie a care apartine lui R , v- vector av se obtine din v astfel pentru a0 vectorul av are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea av pentru a0 vectorul av are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea av pentru a0 0v 0 Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar Fie a , a apartin lui R , u,v 2 vectori a av aa v a vu av au 1 v v 0 v 0 a 0 0 - Daca a-1 vectorul -v se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul . Teorema 2 vectori nenuli sunt paraleli sau coliniari daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .u,v a 0u v exista a apartinand lui R a.i. u av Daca A,B,C, sunt mijloacele laturilor a ABC atunci AABBCC0Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor EF12ABDC-Daca in rel. demonstrata trecem la norme EF12 ABDCd12ABDC -Egalitatea are loc vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens AB DC ABCD trapez -In general FE d12ABDC intr-un patrulater -Egalitatea are loc in trapez . Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor MN12BC-ADIntr-un a ABC , M apartine BC a.i. MBMCk AM1k1AB-kk1AC - Caz particular MBMC mediana AM12ABAC Fie G c.g. a ABC , M un punct in plan , atunci MAMBMC3MG Fie H ortocentrul a inscris in CO,r , atunci HAHBHC2HO H,G,O-coliniare si OH3OG - Dreapta care contine aceste trei puncte c.c.circumscris O , centrul de greutate G si ortocentrul H se numeste dreapta lui Euler . Intr-un a , Gc.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G MBMA NCNA 1 .Teorema lui Menelaus si a lui Ceva1.Teorema lui MenelausO dreapta d care nu trece prin nici un varf al a ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor a ABC in punctele A,B,C . Atunci ABACBCBACACB1 . Reciproca Daca A apartine lui BC , B apartine lui CA , C apartine lui AB si daca A,B,C sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca ABACBCBACACB1 atunci punctele A,B,C sunt coliniare . 2. Teorema lui CevaSe da a ABC si dreptele concurente AA,BB,CC a laturi atunci ABACBCBACACB1 . Reciproca Se da a ABC , A apartine lui BC , B apartine lui CA , C apartine lui AB a varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca ABACBCBACACB1 dreptele AA , BB , CC sunt concurente . OBSERVATIE !Dreptele concurente AA , BB , CC se numesc ceviene .Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta . Geometria analitica a dreptei1. Geometria analitica a dreptei distanta dintre doua puncteABixA-xByA-yBs2. Elemente de geometrie analiticaSe numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OAxi . Daca x0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox .Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic uxiyj AB xB-xAi yB-yAj 3. Modulul uni vectoru xi yj u xyABABAB uuu4. ...
Download