...lentei , pe baza operatiilor logice, bazandu-se pe tautologii.RATIONAMENT PRIN MODUS PONENSLa baza acestui rationament sta implicatia logica. Rationamentul era cunoscut din andtichitate, la Diogene avand forma,,Daca A este atunci este si B,,or, prima este,,deci si primaRationamentul preceent poate fi prezentat schematic , astfelObservati ca cu siguranta majoritatea teroremelor studiate sunt de aceasta forma.Este important de retinut ca din orice teorema, se poate formula in mod logic din ea noi propozitii, ca propozitia reciprocaB ! A si propozitia contrara non A ! non B. Noile propozitii, reciproca si contrara, devin teoreme numai daca sunt demonstrate ca fiind adevarate.Demonstratia matematica este metoda specifica de justificare a teoremelor si consta in a arata ca daca ceea ce afirma ipoteza are loc, atunci concluzia rezulta din ea in mod logic. In orice demonstratie ne putem baza numai pe axiome sausi teoreme demonstrate anterior. Nu este admis sa fie utilizate propozitii proprietati care inca nu au fost demonstrate, acestea din urma putandu-se baza la randul lor pe chiar pe teorema de demonstrat.Exemplul 1. Teorema Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.Consideram propozitiileAOrice functie derivabila intr-un punctBEste continua in acel punct.Teorema prezentata este un rationament de tipul modus ponens, demonstratia gasindu-se in orice manual de analiza matematica.Propozita reciprocaB ! A Orice functie continua este derivabila este o propozitie falsa. Demonstram afirmatia printr-un contraexempludUFunctia f R ! R , fx x , este continua in origine, dar nu este derivabila in acest punct.Exemplul 2. TeoremaOrice poligon convex poate fi circumscris unui cerc, daca bisectoarele unghiului poligonului sunt concurente inacelsi punct.Consideram propozitiileA Bisectoarele unghiurilor unui poligon convex sunt concurente in acelasi punctB Poligonul convex se poate circumscrie unui cerc.Rationamentul modus ponens poate fi pus in evidenta sub forma A si A ! B ! B, demonstratia bazandu-se pe properietatea punctelor ce apartin bisectoarei si definitia cercului. Propozitiile reciproce B ! A si nonA ! nonB sunt deasemeni adevarate.Exemplul 3. Daca I este un interval deschis, xoI si f,g I ! R f dg, sunt functii derivabile in xo astfel incat fxo gxo, atunci f xodg xo.Teorema data este un rationament modus ponens, luand in consideratia propozita A de la daca pana atunci, iar propozitia B in rest. Demonstratia inferentei precedente este urmatoareaOricarea ar fi xI, x xo, are locfx fxo gx gxo x xo x xodeci, prin aplicarea limitei pentru x! xo, x xo, se obtinef xo fd xo d gd xo g xoPropozitia reciproca B ! A . Daca I este un interval deschis, xoI si f,g I ! R, cu fxo gxo, sunt functii derivabile in xo si f xo d g xo, atunci f d g este falsa. Justificarea printr-un contraexemplu.Fie 0I si functia x2, daca xI Q 0, daca xI tQ, si gx x3.Functiile f,g sunt derivabile in xo 0, f0 g0 si f 0 g 0 si totusi f, g nu sunt in relatia f d g in nici o vecinatate a punctului xo 0. In concluzie, propozitia reciproca fiind falasa, se poate afirma ca teorema data nu are teorema reciproca.Exemplul 4. Teorema directa O functie fI ! R, I R este continua intr-un punct de acumulare xoI, daca functia f are limita in xo egala cu valoarea imaginii fxo.Prin alegerea propozitiilorA Functia f are limita in xo egala cu fxo.B O functie fI ! R, I R continua intr-un punct de acumulare xoI.Teorema este un rationament de tip modus ponens, A si A ! B ! B.Se pot formula propozitiile urmatoarePropozitia reciprocaB ! A. daca o functie fI ! R, I R este continua intr-un punct de acumulare xoI, atunci functia f are limita in xo egala cu valoarea imaginii fxo.Propozitia contrara directei nonA ! nonB. Daca functia f nu are limita in xo egala cu valoarea imaginii fxo, functia fI ! R, I R nu este continua in punctul de acumulare xoI.Propozitia contrara directei nonB ! nonA. Daca o functie fI ! R, I R nu este continua intr-un punct de acumulare xoI, atunci functia f nu are limita in xo egala cu valoarea imaginii fxo.Prin justificarea valorii de adevar adevarul, propozitia reciproca este adevarata devenind teorema reciproca si o data cu ea devin teoreme si propozitiile contrara directa si contrara reciproca pe baza tautologiei pe care se bazeaza rationa...
Download