...e divide cu a sau daca a b si b c, atunci a c, oricare ar fi a,b,c apartine N. Daca un numar natural se divide cu nu numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea.Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, atunci si suma lor se divide cu acel numar natural.Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m si daca un numar natural b se divide cu acelasi numar natural m, atunci si suma lor a b se divide cu m sau daca m a si m b, atunci m a b oricare ar fi a, b, m apartine N.Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural, atunci suma nu se divide cu acel numar natural.Fie numerele naturale a si b. Daca numarul a se divide cu numarul natural m si daca b nu se divide cu m atunci suma lor a b nu se divide cu m sau daca m a si m t b,atunci m t a b oricare ar fi a, b, m apartine N.8 Fie a, b si m numerele naturale, a b. Daca a se divide cu m si b se divide cu m atunci si a b se divide cu m sau daca m a si m b, atunci m a b oricare ar fi a, b, m apartine N, a b.9 Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m, atunci produsul lui a cu orice numar natural se divide cu m, sau daca m a, atunci m ab, oricare ar fi a, b, m apartine N.Criterii de divizibilitateCriteriul de divizibilitate cu 10,100 Un numar natural a carui ultima cifra este zero este un numar divizibil cu 10, adica cu 2 5.Un numar natural a carui ultima cifra nu este 0 nu este divizibil cu 10.Un numar natural care are ca ultima cifra pe 0 se divide si cu 2 si cu 5. Un numar natural la care ultimele doua cifre sunt zerouri se divide cu 100, adica cu 2 5.Criteriul de divizibilitate cu 2Daca ultima cifra a unui numar natural este o cifra para 0, 2, 4, 6, 8, atunci acel numar natural se divide cu 2.Daca ultima cifra a unui numar natural nu este o cifra para, atunci acel numar natural nu se divide cu 2.Criteriul de divizibilitate cu 5Daca ultima cifra a unui numar natural este 5 sau 0, atunci acel numar se divide cu 5.Daca ultima cifra a unui numar natural nu este nici 5, nici 0, atunci acel numar nu este divizibil cu 5.Criteriul de divizibilitate cu 4Daca numarul natural format din untimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 4.Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 4.Criteriul de divizibilitate cu 25Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 25.Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 25.Criteriul de divizibilitate cu 3Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibil cu 3, atunci acel numar este divizibil cu 3.Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divixibila cu 3, atunci acel numar nu este divizibil cu 3.Criteriul de divizibilitate cu 9Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibila cu 9, atunci acel numar este divizibil cu 9.Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 9, atunci acel numar nu este divizibil cu 9.Multimea divizorilor unui numar naturalDivizorii lui 6 D I1, 2, 3, 6SDivizorii lui 15 D I1, 3, 5, 15SDivizori proprii. Divizori improriiOrice numar natural m are divizorii improprii 1 si m. Orice alt divizor se numeste divizor propriu.Exemplu Multimea divizorilor lui 6 este D I1, 2, 3, 6S.1 si 6 se numesc divizori improrii ai lui 6, iar 2 si 3 se numesc divizori proprii ai lui 6.Multimea multiplilor unui numar naturalMultimea multiplilor lui 2 este M I0, 2, 4, 6,, 2n,SMultimea multiplilor lui 3 este M I0, 3, 6, 9,, 3n,SNumere primeDefinitie Se numeste prim orice numar natural, diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 si pe el insusi.SauSe numeste numar prim orice numar natural, diferit de 1, care admite numai divizori improprii.Exemplu Numarul 2 se divide numai cu 1 si cu 2, adica numai cu 1 si cu el insusi.Numarul 3 se divide, de asemenea, numai cu 1 si cu el insusi.Urmatoarele numere sunt prime2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47.Orice numar natural care nu este prim se numeste neprim.Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse.De exemplu numerele naturale 0, 4, 6, 8, 10, 24, 1470 sunt compuse.Cum recunoastem daca un numar natural este primImpartim numarul, pe rand, la toate numerele prime in ordine crescatoare, incepand cu 2, pana cand obtinem un cat mai mic ssau egal cu impartitorul. Daca numarul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident ca el nu este prim. Daca numarul considerat nu se divide cu nici unul din aceste numere prime, atunci el este numar prim.Exemplu numarul 137137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7 facem impartirea lui 137 la 7 si obtinem catul 19 si restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11, facem impartirea lui 137 la 11. Obtinem catul 12 si restul 5. Deci 137 nu se divide cu 11. Deoarece catul 12 este mai mare decat impartitorul 11, continuam sa facem impartiri. Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si obtinem catul 10 si restul 7. Numarul 137 nu se divide cu 13. Am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13. Afirmam ca el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13. Intr-adevar, daca 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui 24, 6, 8, 10, 12, iar daca 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici cu 6, 9, 12. Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. Este oare posibil ca 137 sa se divida cu un numar natural c mai mare decat 13 Acest lucru nu este posibil, caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare dacat 13, atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural c acest cat este un numar mai mic decat 13. Or, am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13.In concluzie numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un numar natural mai mare decat 13. El este deci numar prim.Ciurul lui Eratostate 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 8...
Download