... nu sunt asezate la extremitatile aceluiasi diametru, se poate duce un cerc mare si numai unul.Teorema 4 Intersectia planelor a doua cercuri mari este un diametru al lor si le imparte in doua parti egale.Teorema 5 Cea mai scurta distanta pe sfera intre doua puncte de pe suprafata ei este un arc de cerc mare mai mic de 180.Axa, polii, polarele , unghiurile sferice si masurarea lor Diametrul sferei, perpendicular pe planul unui cerc oarecare dat pe acea sfera, se numeste axa acestui cerc. Axa intalneste suprafata sferei in doua puncte opuse P si P EMBED Equation.3 numite poli fig. 1. Polul se mai numeste si centrul sferic al arcelor de cerc mic. Lungimile arcelor PB EMBED Equation.3 , PB EMBED Equation.3 etc. se numesc raze sferice daca raza sferica este egela cu 90, atunci arcul de cerc mare se numeste polara punctelor P si P EMBED Equation.3 . Fig. 1Ungiul sferic. Unghiurile P si P EMBED Equation.3 fig. 1, sub care se intretaie arcele de cerc mare, se numesc unghiuri sferice. Punctele de intersectie ale arcelor se numesc varfurile, iar arcele, laturile unghiului sferic. La fel ca unghiurile plane, unghiurile sferic pot fi ascutite, drepte si obtuse si pot avea valori de la 0 la 360.Reprezentarea sferei pe un plan. Retele stereograficeSe numeste proiectia perspectiva punctului M EMBED Equation.3 fig. 2 pe planul de proiectie K, punctual M in care raza OM EMBED Equation.3 , care trece prin punctual de unde privim O si prin punctual proiecteat M EMBED Equation.3 , interscteaza planul K.Daca punctul de unde proiectam este situat pe suprafata sferi, atunci proiectia in perspectiva se numeste stereografica fig. 3.Locul geometric al punctelor care au aceeasi coordonata se numeste linie de coordonate. Liniile de coordonate care au aceeasi longitudine se numesc meridiane, iar liniile de coordonate care au aceeasi latitudine se numesc paralele. Ansamblul acestor doua feluri de linii de coordonate se numeste retea de coordonate pe sfera, iar reprezentarea ei in plan, intr-o proiectie data, se numeste retea cartografica. Fig. 2 Fig. 3Figuri pe sfera. Fusul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiuri polare si simetriceFus sferic. Partea din suprafata sferei cuprinsa intre doua semicercuri care au acelasi diametru, se numeste fus sferic evident, fusul sferic pate fi considerat drept suprafata de rotatie a unui semicerc, cand acesta se roteste in jurul diametrului sau cu un unghi oarecare a.Triunghiul sferic. Figura de pe suprafata sferei formata din trei arce de cerc mare care se intretaie in trei puncte, se numeste triunghi sferic. Elementele triunghiului sferic sunt trei unghiuri, fiecare in parte mai mic de 180, si trei laturi daca laturile sunt mai mici decat 2d d 90, atunci triunghiul se numeste triunghi al lui Euler triunghiurile care au laturile mai mari decat 2d, se numesc triunghiuri Moebius Study. Triunghiurile sferice pot fi isosceles, echilaterale, dreptunghice sau oarecare.Triunghiurile sferice dreptunghice pot avea unul, doua sau trei unghiuri drepte, iar triunghiurile sferice oarecare pot avea unul doua sau trei unghiur obtuze. Daca intr-un triunghi sferic, cel putin o latura este egala cu un sfert din cerc, atunci triunghiul se numeste cuadrantic.Triunghiuri polare. Daca in triunghiul sferic ABC fig. 4 consideram varfurile ca poli si descriem, cu raze sferice egal cu 90, polarele unui varf, atunci aceste polare, intretaindu-se doua cate doua, vor da un nou triunghi sferic ABC, numit triunghi polar sau suplinentar triunghiului dat.Triunghiul simetric. Daca din varfurile triunghiului sferic ABC ducem reze la centru si le prelungim pana la intersectia cu suprafata sfferei, in punctele A EMBED Equation.3 , B EMBED Equation.3 , C EMBED Equation.3 , atunci, unind doua cate doua punctele obtinute prin arce de cerc mare, obtinem un triunghi sferic opus celui dintai, care se numeste triunghi simetric triunghiului dat fig. 5. Fig. 4 Fig. 5Proprietatile triunghiului sferic polarRelatiile dintre un tringhi sferic dat si triunghiul lui polarUn triunghi dat si triunghiul lui polar dunt reciproc polare, adicavarfurile triunghiului dat sunt polii laturilor triunghiului polar si varfurile triunghiului polar sunt polii laturilor triunghiului dat.Suma unui unghi al unui triunghi sferic dat si a laturii corespunzatoare lui din triunghiul polar este ehala cu 180.Suma unui unghi al triunghiului polar si a laturii corespunzatoare lui din triunghiul dat este egal cu 180.Proprietatile unghiurilor triunghiului sfericIn orice triunghi sferic, suma unghiurilor este intotdeauna mai mica decat 6d si mai mare decat 2d doua drepte.Intr-un triunghi sferic, suma a doua unghiuri din care se scade al terilea, este intotdeaun mai mica decat 2d.Unghiul exterior al unui triunghi sferic este mai mic decat suma celor doua unghiuri interioare nealaturate, dar mai mare decat diferenta lor.Egalitatea triunghiurilor sfericeDoua triunghiuri sferice, situate pe aceeasi sfera sau pe doua sfere diferite dar de aceeasi raza, sunt egale, daca au cate doua laturi si unghiul cuprins intre ele egalecate o latura si cele doua unghiuri alaturate, egale cate trei laturi egalecate trei unghiuri egale.Proprietatile laturilor si unghiurilor triunghiurilor sfericeLaturilor egale, intr-un triunghi sferic, li se opun unghiuri egale, si reciproc.In orice triunghi sferic, unghiului mai mare i se opune latura mai mare, si reciproc.Cercul inscris si cercul circumscrisBisectoarele AO, BO, CO, ale triunghiului sferic se intretaie in centrul cercului mic inscris in triunghi fig. 6.Mediatoarele triunghiului sferic se intretaie in centrul cercului mic circumscris triunghiului fig. 7. Fig. 6 Fig. 7.Ii1rX 78KLMNboiiiiiiiiiiajEHUajMEHUajACJUVajaEHUajACJUVa
jEHUajgACJUVajEHUajACJUVajUCJ6sCJCJ i-.rVXaaaIaaaaaaaaaahhaaaaaFaaFaaaaaaaaaaaFa...
Download