...uv, vom rezolva ecuatia pentru , observand ca Radacina pozitiva a ecuatiei, care se poate scrie 2 - 1 0este o constanta care este numita Numarul de aur sau Proportia divina. Daca presupunem u1, atunci, cum am presupus mai devreme. Notam numarul v 0.6180339887 phi. Numarul de aur si Fibonacci Afirmam ca numarul nostru Phi este strans legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin f00 f11 fn f0 f1 oricare n32. Acest sir exprima intr-un mod naiv cresterea populatiei de iepuri. Se presupune ca iepurii au cate doi pui o data la fiecare luna dupa ce implinesc varsta de doua luni. De asemenea, puii nu mor niciodata si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin. In felul acesta, numarul de perechi de iepuri existente dupa n luni ar trebui sa fie fn. Va puneti intrebarea ce poate avea in comun cu sirul lui Fibonacci Aceasta este o idee remarcabila a matematicii. Pentru inceput sa observam ca este o fractie infinita. Acum sa privim fractiile partiale Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce motiveaza teorema ce spune ca In cuvinte putem spune ca, pe masura ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de . Aceasta teorema este valabila pentru orice secventa arbitrara ce satisface recurenta fn f0 f1 oricare n32, cu proprietatea ca primii doi termeni sunt diferiti.Reprezentare grafica dreptunghiuri de aur Legatura geometrica dintre numarul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vazuta in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur de lungime si latime 1, urmeaza un sir natural de cuibariri ale dreptunghiurilor divine in cel initial. Lungimea si latimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt intotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi inscrise intr-o spirala logaritmica, asa cum arata imaginea. Sa presupunem ca punctul din coltul din stanga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum intrebarea unde se afla punctul spre care tinde spirala Raspunsul este spirala tinde spre punctul de coordonate Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, in sensul ca orice dreapta ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. In sensul acesta, spunem ca spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastra are un unghi Spiralele logaritmice se intalnesc destul de des si in natura. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au forma de spirala. Alta aplicatie geometrica a numarului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fara cerc si compas. Aceasta este legata de faptul ca Alte siruri care tind la Phi La fel de simplu cum este o fractie infinita, tot asa poate fi si un radical infinit Iata alta serie infinita legata de Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de urmatoarele doua sunt mai cunoscute undeCateva curiozitati despre Phi si phi Un prim fapt ce sare in ochi si este cel putin curios il constituie relatia simpla intre , a si e Pare intr-adevar ciudat cum trei numere irationale se leaga printr-o expresie atat de simpla, insa matematicienii au demonstrat ca asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sa-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate. Coincidentele nu se opresc insa aici. Sa consideram urmatorul sir f00.6180339887 f11.000 f01.6180339887 f02.6180339887fn f0 f1 oricare n32. Din definitia sirului se observa ca oricare doi termeni consecutivi adunati il dau ca rezultat pe urmatorul. Este insa nevoie de un ochi ager pentru a observa ca prin inmultirea oricarui termen cu 1.6180339887 va rezulta termenul imediat urmator. Asadar . Prezentam acum cateva egalitati simple cu si D 2 1 n2 n1 n D2 D 1 Dn2 Dn1 Dn Anexa nr. 1 Reprezentarea grafica Anexa nr. 2 Programul sursa C ce creeaza reprezentarea grafica din anexa 1 include iostream.hinclude conio.hinclude stdio.hinclude math.hinclude graphics.h int x31,x32,y31,y32 void rect1 int x1, int y1, int x2, int y2 I setcolor1 rectanglex1,y1,x2,y2 setcolor14 arcx1y2-y1,y2,90,180,y2-y1 S void rect2 int x1, int y1, int x2, int y2 I setcolor1 rectanglex1,y1,x2,y2 setcolor14 arcx1,y1x2-x1,0,90,x2-x1 S void rect3 int x1, int y1, int x2, int y2 I setcolor1 rectanglex1,y1,x2,y2 setcolor14 arcx2-y2y1,y1,270,360,y2-y1 S void rect4 int x1, int y1, int x2, int y2 I setcolor1 rectanglex1,y1,x2,y2 setcolor14 arcx2,y2-x2x1,180,270,x2-x1 S void goldint n I int i,j,k,l fori1ini ...
Download