...ociativa daca xyzxyz, x,y,z apartinand lui M.Daca legea de compozitie este data in notatie aditiva multiplicativa atunci proprietatea de asociativtate a acesteia se scrie xyzxyzrespectiv xyzxyz x,y,z apartinand lui M.Exemple1.Adunare si inmultirea numerelor reale sunt legi de compozitie asociative pentru ca xyzxyz si xyzxyz.2.Adunarea si inmultirea matricilor din M2R sunt legi de compozitie asociative, caci ABCABC si ABCABC. 3.Reuniunea si intersectia partilor unei multimi E sunt legi de compozitie asociative, caci XUYUZXUYUZ.4.Compunerea functiilor unei multimi E in ea insasi este o lege de compozitie asociativa, caci fghfgh. ComutativitateaProprietatea de asociativitate largest mult aria posibilitatilor in perfectarea calcului algebric. O alta sursa in acest sens este data de legile de compozitie pentru care produsul a doua elemente oarecare este independent de ordinea in care se face compunerea acestora. Mai precisDefinitie O lege de compozitie MM cu valori in M, x, y cu valori in xy se numeste comutativa, daca xyyx, x,y M. Adunarea si inmultirea numerelor reale,reuniunea si intersectia partilor unei multimi sunt legi de compozitie comutative.Numeroase legi de compozitie se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operatii pot prelua unele proprietati de la cele de plecare prin mecanismul dat chiar de definitia lor. Astfel comutativitatea adunariimatricelor din M2R este o consecinta a proprietatii de comutativitate a adunarii numerelor reale. Intradevar, daca A, B apartin lui M2R, Aaij, Bbij, atunci Sa observam ca inmultirea matricilor din M2R nu este comutativa,cu toate ca inmultirea numerelor reale este comutativa. Aceasta rezulta din exemplul urmator Deci daca A,B M2R atunci ABBA. Element neutruNumerele reale 0 si 1 au pruprietatiile 0xx0x, xR,respectiv 1xx1x, xR.Daca E este o multime si 1EEE este aplicatia identica a lui E, atunci 1Eff1Ef, fFE.De asemenea, pentru orice matrice A M2R avemsi analog A0A.DefinitieUn element eM se numeste element neutru pentru o lege de . compozitie MMM, x, yxy, daca exxex, xM.TeoremaDaca o lege de compozitie are element neutru, atunci acesta este . unic.DemonstratieFie e si ea doua elemente neutre pentru o lege de compozitie MMM, x, yxy. Avem eeaea caci e este element neutru.De asemenea, eeae caci si ea este element neutru, de unde eea.Asadar, elementul neutru,in caz ca exista,este unic determinat.In notatie aditiva elementul neutru se noteaza de regula cu 0 si se numeste elementul zero, iar in notatie multiplicativa elementul neutru se noteaza cu 1 sau chiar cu e si poarta numelede elementul unitate. Avem 0xx0x, xM,respectiv 1xx1x, xM.Exemple1.Numarul real 0este elementul neutru al adunarii numerelor reale, numarul real 1 este elementul neutru al inmultirii numerelor reale.2.Aplicatia identica 1E a multimii E este elementul neutru al operatiei de compunere a functiilor din FE.3.Multimea 2NI2kkNS a numerelor naturale pare o parte stabila a lui N in raport cu inmultirea si legea de compozitie indusa de catre aceasta pe 2N nu admite element neutru. Element simetrizabilCa si pana acum, Meste o multime nevida inzestrata cu o lege de compozitie MMM, x, yxyVom presupune in plus ca aceasta lege de compozitie este asociativa si ca admite element neutru, fie acesta e.DefinitieUu element xM se numeste simetrizabil in raport cu legea de . compozitie asociativa si cu element neutru MMM,x,yxy, . daca exista xaM astfel incat. xaxxxae.Sa observam ca daca xaaM satisface ca si xa conditiile xaaxxxaaeatunci xaxaa. Intr-adevar xaxaexaxxaaxaxxaaexaaxaa.Daca xM este simetrizabil, atunci unicul element xaM cu proprietatea xaxxxae se numeste simetricul lui x.In notatia multiplicativa simetricul lui x, in caz ca exista, se noteaza de regula cu xa si se numeste inversul lui x in notatia aditiva se noteaza cu -x si se numeste opusul lui x. Asadar, xaxxxa1,respectiv -xxx-x0.Exemple1.Cum eee, rezulta ca elementul neutru este si simetrizabil si simetricul lui e este tot e. In notatie multiplicativa avem 1a1, iar in notatie aditiva -00.2.Orice numar intreg este simetrizabil in raport cu adunarea numerelor intregi numerele intregi simetrizabile fata de inmultire sunt 1 si 1, 1a1, -1a-1.3.Consultand tabla operatiilor induse pentru compunerea functiilor din FE, unde EI1, 2S, se observa ca eee si ffe, deci functiile e si f sunt simetrizabile inversabile si eae, faf.TeoremaDaca x, y M sunt elemente simetrizabile in raport cu o lege de compozitie MMM,x, yxy asociativa si cu element neutru atunci xy si xa sunt simetrizabile.Mai mult 1 xyayaxa,xaax DemonstratieAvem yaxaxyyaxaxyyaxaxyyaeyyayesi analog xyyaxae. Rezulta ca xy este simetrizabil si xyayaxa. A doua afirmatie este imediata.Proprietatile 1 si 2 din enuntul teoremei precedente se transcriu multiplicativ astfel 1 xyayaxa, 2 xaax,iar in notatia aditiva 1 -xy-y-x, 2 -xx.Se face urmatoarea conventie de notatie Aplicatii.1.Pe multimea Z a numerelor intregi defnim legea de compozitie ZZZ, x, yxyxy-xy,Numita compunerea circulara. Sa se arate ca legea de compozitie este asociativa si comutativa.axyzxy-xyzxy-xyz-xy-xyzxyz-xy-yz-zxxyz xyzxyz-yzxyz-yz-xyz-yzxyz-xy-yz-zxxyzxyzxyzbxyxy-x
yyx-yxyx2.Fie M si N doua multimi, o lege de compozitie pe M, o lege de compozitie pe N si fMN o functie surjectiva astfel incat fxyfxfy, x, y M.aDaca legea de compozitie este asociativa comutativa atunci legea de compozitie este asociativa comutativa.bFunctia fZZ, fx1-x are proprietatea fxyfxfy, x, y Zunde xy este produsul uzual in Z, iar este compunerea circulara. aFie u, v, N. f surjectiva x, y, z M a. i. ufx, vfy, fz.uvfxfyfxyfyxfyfxvu uvfxfyfzfxyfzfxyz fxyzfxfyzfxfyfzuvbx, y Z fxfyfxfy-fxfy1-x1-y-1-x1-y 2-x-y-1yx-xy1-xyfxy.3.Fie d un numar intreg liber de patrate siaH este o parte stabila a lui M2Q in raport cu inmultirea matrice...
Download